MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateFuncția de gradul al II-lea
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2x−4ex+3xf(x) = e^{2x} - 4e^x + 3x. a) Să se arate că ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}; b) Să se demonstreze că ff este convexă pe [0,+∞)[0, +\infty); c) Să se determine cel mai mare interval II pe care ff este descrescătoare și concavă, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Derivata întâi: f′(x)=2e2x−4ex+3f'(x) = 2e^{2x} - 4e^x + 3. Arăt că f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}: notez t=ex>0t = e^x > 0, atunci f′(x)=2t2−4t+3f'(x) = 2t^2 - 4t + 3. Discriminantul este Δ=16−24=−8<0\Delta = 16 - 24 = -8 < 0 și coeficientul lui t2t^2 este pozitiv, deci 2t2−4t+3>02t^2 - 4t + 3 > 0 pentru orice t>0t > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}; rezultă că ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R};
24 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=4e2x−4ex=4ex(ex−1)f''(x) = 4e^{2x} - 4e^x = 4e^x(e^x - 1). Pentru x≥0x \geq 0, ex≥1e^x \geq 1, deci f′′(x)≥0f''(x) \geq 0 cu egalitate doar la x=0x=0; deci ff este convexă pe [0,+∞)[0, +\infty);
32 puncte
Din studiul derivatelor: pentru x<0x < 0, ex<1e^x < 1, deci f′′(x)<0f''(x) < 0 și f′(x)>0f'(x) > 0 (din punctul a). Prin urmare, ff este strict crescătoare și concavă pe (−∞,0](-\infty, 0], dar nu există un interval pe care ff este descrescătoare și concavă, deci răspunsul este că nu există astfel de interval.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.