MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebrice
Fie nn un număr natural nenul. Calculați suma ∑k=0nk⋅C(n,k)\sum_{k=0}^{n} k \cdot C(n,k) și demonstrați că este egală cu n⋅2n−1n \cdot 2^{n-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Scrierea sumei: S=∑k=0nk⋅C(n,k)S = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C(n,k).
23 puncte
Folosirea identității combinatorice: pentru k≥1k \geq 1, kC(n,k)=nC(n−1,k−1)k C(n,k) = n C(n-1,k-1).
33 puncte
Rescrierea sumei: S=∑k=1nnC(n−1,k−1)=n∑j=0n−1C(n−1,j)S = \sum_{k=1}^{n} n C(n-1,k-1) = n \sum_{j=0}^{n-1} C(n-1,j), unde j=k−1j = k-1.
43 puncte
Aplicarea formulei ∑j=0mC(m,j)=2m\sum_{j=0}^{m} C(m,j) = 2^m pentru m=n−1m = n-1, obținând S=n⋅2n−1S = n \cdot 2^{n-1}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.