MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăStudiul funcțiilor
Fie semicercul de ecuație y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2} cu x∈[−R,R]x \in [-R, R], unde R>0R > 0 este o constantă. Un dreptunghi este înscris în acest semicercul, având baza pe diametrul de pe axa Ox și vârfurile superioare pe semicercul. Determinați dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria sa, exprimându-le în funcție de RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm cu xx jumătatea lățimii dreptunghiului, deci baza are lungimea 2x2x cu x∈(0,R)x \in (0, R). Înălțimea dreptunghiului este y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}. Aria dreptunghiului este A(x)=2x⋅R2−x2A(x) = 2x \cdot \sqrt{R^2 - x^2}.
23 puncte
Calculăm derivata funcției A(x)A(x): A′(x)=2R2−x2+2x⋅−xR2−x2=2(R2−x2)−2x2R2−x2=2R2−4x2R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2R^2 - 4x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}.
32 puncte
Rezolvăm ecuația A′(x)=0A'(x) = 0, adică 2R2−4x2=02R^2 - 4x^2 = 0, de unde x2=R22x^2 = \frac{R^2}{2}, deci x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} (considerăm doar valoarea pozitivă în (0,R)(0, R)).
42 puncte
Studiem semnul derivatei: pentru x<R2x < \frac{R}{\sqrt{2}}, A′(x)>0A'(x) > 0, iar pentru x>R2x > \frac{R}{\sqrt{2}}, A′(x)<0A'(x) < 0, deci x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} este punct de maxim local. Alternativ, putem calcula derivata a doua și verifica că este negativă în acel punct.
51 punct
Dimensiunile dreptunghiului sunt: lățimea 2x=2R2x = \sqrt{2}R și înălțimea y=R2−R22=R2y = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}. Aria maximă este A_{\text{\max}} = \sqrt{2}R \cdot \frac{R}{\sqrt{2}} = R^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.