MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În triunghiul ABC, raportul sinusurilor unghiurilor este sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=3:5:7\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7. Demonstrați că triunghiul este obtuzunghic și calculați măsura unghiului cel mai mare.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm teorema sinusurilor: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R. Din raportul dat, notăm sin⁡A=3k\sin A = 3k, sin⁡B=5k\sin B = 5k, sin⁡C=7k\sin C = 7k, cu k>0k > 0.
23 puncte
Folosind faptul că A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ, exprimăm laturile proporțional cu sinusurile: a=2Rsin⁡A=6Rka = 2R \sin A = 6Rk, b=2Rsin⁡B=10Rkb = 2R \sin B = 10Rk, c=2Rsin⁡C=14Rkc = 2R \sin C = 14Rk.
33 puncte
Verificăm dacă triunghiul este obtuzunghic prin teorema cosinusurilor: calculăm c2=(14Rk)2=196R2k2c^2 = (14Rk)^2 = 196R^2k^2 și a2+b2=(6Rk)2+(10Rk)2=136R2k2a^2 + b^2 = (6Rk)^2 + (10Rk)^2 = 136R^2k^2. Deoarece c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2, unghiul C este obtuz, deci triunghiul este obtuzunghic.
42 puncte
Unghiul cel mai mare este C. Din teorema cosinusurilor: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C. Înlocuim: 196R2k2=136R2k2−2⋅6Rk⋅10Rk⋅cos⁡C196R^2k^2 = 136R^2k^2 - 2 \cdot 6Rk \cdot 10Rk \cdot \cos C. Simplificăm: 60R2k2=−120R2k2cos⁡C60R^2k^2 = -120R^2k^2 \cos C, deci cos⁡C=−12\cos C = -\frac{1}{2}. Astfel, C=120∘C = 120^\circ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.