MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real kk: {2x−y+z=1x+3y−2z=4−x+2y+kz=0\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + 3y - 2z = 4 \\ -x + 2y + kz = 0 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Calculați determinantul matricei sistemului. c) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. d) Pentru k=1k=1, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea matricei asociate: A=(2−1113−2−12k)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & 2 & k \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=2⋅det⁡(3−22k)−(−1)⋅det⁡(1−2−1k)+1⋅det⁡(13−12)=2(3k+4)+(k−2)+(2+3)=6k+8+k−2+5=7k+11\det(A) = 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & k \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & k \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 2(3k + 4) + (k - 2) + (2 + 3) = 6k + 8 + k - 2 + 5 = 7k + 11.
33 puncte
Sistemul are soluție unică dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică 7k+11≠0⇒k≠−1177k + 11 \neq 0 \Rightarrow k \neq -\frac{11}{7}.
42 puncte
Pentru k=1k=1, det⁡(A)=18≠0\det(A)=18 \neq 0. Calculăm: Δx=det⁡(1−1143−2021)=19\Delta_x = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 4 & 3 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = 19, Δy=det⁡(21114−2−101)=13\Delta_y = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 13, Δz=det⁡(2−11134−120)=−15\Delta_z = \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = -15. Soluțiile: x=1918x = \frac{19}{18}, y=1318y = \frac{13}{18}, z=−56z = -\frac{5}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.