MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
Profitul unei companii este dat de funcția P(x)=−2x3+15x2−24x+10P(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x + 10, unde x≥0x \geq 0 reprezintă numărul de mii de unități produse. Determinați intervalele pe care profitul este monoton (crescător sau descrescător) și convex sau concav, și interpretați rezultatele în context economic, referindu-vă la creșterea profitului și la randamentul marginal.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: P′(x)=−6x2+30x−24P'(x) = -6x^2 + 30x - 24. Rezolvați P′(x)=0P'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: x=1x=1 și x=4x=4.
23 puncte
Analizați semnul lui P′(x)P'(x) pe [0,∞)[0, \infty): P′(x)>0P'(x) > 0 pe (1,4)(1,4) (deci profitul este crescător), iar P′(x)<0P'(x) < 0 pe [0,1)[0,1) și (4,∞)(4, \infty) (profitul este descrescător).
32 puncte
Calculați derivata a doua: P′′(x)=−12x+30P''(x) = -12x + 30. Studiați semnul: P′′(x)>0P''(x) > 0 pentru x<2.5x < 2.5 (profit convex, indicând accelerare în creștere sau încetinire în descreștere), P′′(x)<0P''(x) < 0 pentru x>2.5x > 2.5 (profit concav, indicând încetinire în creștere sau accelerare în descreștere).
42 puncte
Interpretați: pe (1,4)(1,4), profitul crește, cu convexitate pe (1,2.5)(1,2.5) și concavitate pe (2.5,4)(2.5,4), sugerând o creștere inițial rapidă care încetinește; pe alte intervale, profitul scade, cu variații în rată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.