MediuContinuitateClasa 12

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} o funcție continuă. Considerăm funcția F:R→RF: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin F(x)={1x∫0xg(t)dt,daca˘ x≠0a,daca˘ x=0F(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} \int_0^x g(t) dt, & \text{dacă } x \neq 0 \\ a, & \text{dacă } x = 0 \end{cases}. Demonstrați că FF este continuă pe R\mathbb{R} dacă și numai dacă a=g(0)a = g(0).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Dacă FF este continuă pe R\mathbb{R}, atunci este continuă în x=0x=0, deci lim⁡x→0F(x)=F(0)=a\lim_{x \to 0} F(x) = F(0) = a.\n
23 puncte
Calculăm lim⁡x→0F(x)=lim⁡x→01x∫0xg(t)dt\lim_{x \to 0} F(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x g(t) dt. Folosind regula lui L'Hôpital sau teorema fundamentală a calculului integral, avem lim⁡x→0∫0xg(t)dtx=lim⁡x→0g(x)1=g(0)\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x g(t) dt}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{1} = g(0), deoarece gg este continuă.\n
33 puncte
Prin urmare, a=g(0)a = g(0). Reciproc, dacă a=g(0)a = g(0), atunci FF este continuă în x=0x=0 deoarece lim⁡x→0F(x)=g(0)=a=F(0)\lim_{x \to 0} F(x) = g(0) = a = F(0). Pentru x≠0x \neq 0, FF este continuă ca produs și cât de funcții continue.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.