MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere Complexe
Fie z=a+biz = a+bi un număr complex. Arătați că ∣z∣2=z⋅z‾|z|^2 = z \cdot \overline{z}. Apoi, folosind această identitate, demonstrați că pentru orice numere complexe z1z_1 și z2z_2, avem ∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2)|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Dacă z=a+biz = a+bi, atunci ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, deci ∣z∣2=a2+b2|z|^2 = a^2 + b^2. De asemenea, z‾=a−bi\overline{z} = a-bi, așadar z⋅z‾=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2. Prin urmare, ∣z∣2=z⋅z‾|z|^2 = z \cdot \overline{z}.
27 puncte
Notăm z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b_1 i și z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b_2 i. Calculăm: ∣z1+z2∣2=(z1+z2)(z1+z2‾)=(z1+z2)(z1‾+z2‾)=z1z1‾+z1z2‾+z2z1‾+z2z2‾|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = z_1 \overline{z_1} + z_1 \overline{z_2} + z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}. Similar, ∣z1−z2∣2=(z1−z2)(z1−z2‾)=(z1−z2)(z1‾−z2‾)=z1z1‾−z1z2‾−z2z1‾+z2z2‾|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2}) = z_1 \overline{z_1} - z_1 \overline{z_2} - z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}. Adunând, obținem 2(z1z1‾+z2z2‾)=2(∣z1∣2+∣z2∣2)2(z_1 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_2}) = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.