MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați mulțimea soluțiilor reale ale ecuației 2x2−5x+3=x2−2x+1+x2−3x+2\sqrt{2x^2-5x+3}=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-3x+2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Determinarea condițiilor de existență ale radicalilor. Toți radicalii trebuie să aibă expresii nenegative: 2x2−5x+3≥02x^2-5x+3\ge0, x2−2x+1≥0x^2-2x+1\ge0, x2−3x+2≥0x^2-3x+2\ge0. Se obține x∈(−∞,1]∪[2,∞)x\in(-\infty,1]\cup[2,\infty).
22 puncte
Observație: x2−2x+1=(x−1)2x^2-2x+1=(x-1)^2, deci x2−2x+1=∣x−1∣\sqrt{x^2-2x+1}=|x-1|.
32 puncte
Ecuația devine: 2x2−5x+3=∣x−1∣+x2−3x+2\sqrt{2x^2-5x+3}=|x-1|+\sqrt{x^2-3x+2}.
42 puncte
Studiem pe intervale: Cazul 1: x≥2x\ge2 atunci ∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1. Ecuația: 2x2−5x+3=x−1+x2−3x+2\sqrt{2x^2-5x+3}=x-1+\sqrt{x^2-3x+2}. Se izolează radicalul rămas: 2x2−5x+3−x2−3x+2=x−1\sqrt{2x^2-5x+3}-\sqrt{x^2-3x+2}=x-1. Se ridică la pătrat: 2x2−5x+3+x2−3x+2−2(2x2−5x+3)(x2−3x+2)=x2−2x+12x^2-5x+3+x^2-3x+2-2\sqrt{(2x^2-5x+3)(x^2-3x+2)}=x^2-2x+1. Se simplifică: 2x2−6x+4=2(2x2−5x+3)(x2−3x+2)2x^2-6x+4=2\sqrt{(2x^2-5x+3)(x^2-3x+2)}. Împărțim la 2 și ridicăm din nou la pătrat: (x2−3x+2)2=(2x2−5x+3)(x2−3x+2)(x^2-3x+2)^2=(2x^2-5x+3)(x^2-3x+2). Dacă x2−3x+2≠0x^2-3x+2\neq0 (caz tratat separat), se împarte și obținem x2−3x+2=2x2−5x+3x^2-3x+2=2x^2-5x+3, adică x2−2x+1=0x^2-2x+1=0, deci x=1x=1. Dar x=1x=1 nu este în [2,∞)[2,\infty). Dacă x2−3x+2=0x^2-3x+2=0, atunci x=1x=1 sau x=2x=2. x=2x=2 este în interval, se verifică în ecuația inițială: 8−10+3=1+0\sqrt{8-10+3}=\sqrt{1}+\sqrt{0} dă 1=1+01=1+0, adevărat. Deci x=2x=2 este soluție. Cazul 2: x≤1x\le1, atunci ∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x. Ecuația: 2x2−5x+3=1−x+x2−3x+2\sqrt{2x^2-5x+3}=1-x+\sqrt{x^2-3x+2}. Se procedează similar: izolăm, ridicăm la pătrat etc. Se obține x=1x=1 sau x=0x=0. Verificare: x=1x=1 dă 0=0+0\sqrt{0}=0+\sqrt{0}, adevărat. x=0x=0 dă 3=1+2\sqrt{3}=1+\sqrt{2}, fals.
52 puncte
Soluțiile sunt x=1x=1 și x=2x=2. Mulțimea soluțiilor este {1,2}\{1,2\}.
61 punct
Verificarea finală a celor două soluții în ecuația inițială confirmă corectitudinea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.