MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Fie funcția g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=ln⁡(x2+1)g(x) = \ln(x^2 + 1). a) Aflați intervalele de monotonie ale funcției gg. b) Studiați convexitatea funcției gg.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: g′(x)=2xx2+1g'(x) = \frac{2x}{x^2+1}. |
23 puncte
Determinați semnul lui g′(x)g'(x): g′(x)=0⇒x=0g'(x) = 0 \Rightarrow x = 0. Pentru x<0x < 0, g′(x)<0g'(x) < 0, deci gg este strict descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0); pentru x>0x > 0, g′(x)>0g'(x) > 0, deci gg este strict crescătoare pe (0,∞)(0,\infty). |
32 puncte
Calculați derivata a doua: g′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2g''(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}. |
42 puncte
Analizați semnul lui g′′(x)g''(x): g′′(x)>0g''(x) > 0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1), deci gg convexă pe (−1,1)(-1,1); g′′(x)<0g''(x) < 0 pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty), deci gg concavă pe aceste intervale; g′′(x)=0g''(x)=0 pentru x=±1x=\pm 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.