MediuAsimptoteClasa 12

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateIntegrale definite
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. a) Determinați asimptotele verticale și oblice ale funcției ff. b) Studiați monotonia funcției ff și determinați punctele de extrem. c) Calculați integrala ∫12f(x)dx\int_{1}^{2} f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0(x+1x)=±∞\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x + \frac{1}{x} \right) = \pm \infty, deci x=0x=0 este asimptotă verticală. Pentru asimptotă oblică, m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞(1+1x2)=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) = 1. n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=lim⁡x→±∞1x=0n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0. Deci asimptota oblică este y=xy = x.
24 puncte
Derivata f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}. f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=±1x = \pm 1. Analizând semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (1,+∞)(1, +\infty), f′(x)<0f'(x) < 0 pe (−1,0)(-1, 0) și (0,1)(0, 1). Deci ff este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (1,+∞)(1, +\infty), descrescătoare pe (−1,0)(-1, 0) și (0,1)(0, 1). Punct de maxim local la x=−1x=-1, f(−1)=−2f(-1)=-2; punct de minim local la x=1x=1, f(1)=2f(1)=2.
33 puncte
∫12f(x)dx=∫12(x+1x)dx=[x22+ln⁡∣x∣]12=(42+ln⁡2)−(12+ln⁡1)=2+ln⁡2−0.5=1.5+ln⁡2\int_{1}^{2} f(x) dx = \int_{1}^{2} \left( x + \frac{1}{x} \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \ln |x| \right]_{1}^{2} = \left( \frac{4}{2} + \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{2} + \ln 1 \right) = 2 + \ln 2 - 0.5 = 1.5 + \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.