MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareNumere ComplexeMatrici
Să se rezolve în mulțimea numerelor complexe sistemul de ecuații: {(1+i)x+(2−i)y=5−i(3+2i)x−(1−3i)y=2+5i\begin{cases} (1+i)x + (2-i)y = 5 - i \\ (3+2i)x - (1-3i)y = 2 + 5i \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea sistemului sub formă matricială Az⃗=b⃗A \vec{z} = \vec{b}, unde A=(1+i2−i3+2i−1+3i)A = \begin{pmatrix} 1+i & 2-i \\ 3+2i & -1+3i \end{pmatrix}, z⃗=(xy)\vec{z} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} și b⃗=(5−i2+5i)\vec{b} = \begin{pmatrix} 5-i \\ 2+5i \end{pmatrix}.\n
23 puncte
Calculul determinantului Δ=det⁡A=(1+i)(−1+3i)−(2−i)(3+2i)=(−1+3i−i+3i2)−(6+4i−3i−2i2)=(−1+2i−3)−(6+i+2)=(−4+2i)−(8+i)=−12+i\Delta = \det A = (1+i)(-1+3i) - (2-i)(3+2i) = (-1+3i - i +3i^2) - (6+4i -3i -2i^2) = (-1+2i -3) - (6+i +2) = (-4+2i) - (8+i) = -12 + i; verificarea că Δ≠0\Delta \neq 0.\n
34 puncte
Aplicarea regulii lui Cramer: Δx=det⁡(5−i2−i2+5i−1+3i)=(5−i)(−1+3i)−(2−i)(2+5i)=(−5+15i+i−3i2)−(4+10i−2i−5i2)=(−5+16i+3)−(4+8i+5)=(−2+16i)−(9+8i)=−11+8i\Delta_x = \det \begin{pmatrix} 5-i & 2-i \\ 2+5i & -1+3i \end{pmatrix} = (5-i)(-1+3i) - (2-i)(2+5i) = (-5+15i + i -3i^2) - (4+10i -2i -5i^2) = (-5+16i +3) - (4+8i +5) = (-2+16i) - (9+8i) = -11 + 8i, deci x=ΔxΔ=−11+8i−12+ix = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-11+8i}{-12+i}; în mod similar, Δy=det⁡(1+i5−i3+2i2+5i)=(1+i)(2+5i)−(5−i)(3+2i)=(2+5i+2i+5i2)−(15+10i−3i−2i2)=(2+7i−5)−(15+7i+2)=(−3+7i)−(17+7i)=−20\Delta_y = \det \begin{pmatrix} 1+i & 5-i \\ 3+2i & 2+5i \end{pmatrix} = (1+i)(2+5i) - (5-i)(3+2i) = (2+5i +2i +5i^2) - (15+10i -3i -2i^2) = (2+7i -5) - (15+7i +2) = (-3+7i) - (17+7i) = -20, deci y=ΔyΔ=−20−12+iy = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-20}{-12+i}; simplificarea fracțiilor: x=(−11+8i)(−12−i)(−12+i)(−12−i)=(132+11i−96i−8i2)(144−i2)=132−85i+8145=140−85i145=28−17i29x = \frac{(-11+8i)(-12-i)}{(-12+i)(-12-i)} = \frac{(132+11i -96i -8i^2)}{(144 - i^2)} = \frac{132 -85i +8}{145} = \frac{140 -85i}{145} = \frac{28 -17i}{29}, y=−20(−12−i)145=240+20i145=48+4i29y = \frac{-20(-12-i)}{145} = \frac{240+20i}{145} = \frac{48+4i}{29}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.