MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul al II-leaIdentități algebrice
Rezolvați sistemul de ecuații: {x2+y2+xy=7x2y+xy2=6\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 7 \\ x^2 y + xy^2 = 6 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm s=x+ys = x+y și p=xyp = xy. Atunci prima ecuație devine s2−p=7s^2 - p = 7, iar a doua devine ps=6ps = 6.
23 puncte
Rezolvăm sistemul {s2−p=7ps=6\begin{cases} s^2 - p = 7 \\ p s = 6 \end{cases}. Din a doua, p=6sp = \frac{6}{s}. Substituim în prima: s2−6s=7⇒s3−6=7s⇒s3−7s−6=0s^2 - \frac{6}{s} = 7 \Rightarrow s^3 - 6 = 7s \Rightarrow s^3 - 7s - 6 = 0.
33 puncte
Găsim rădăcinile ecuației s3−7s−6=0s^3 - 7s - 6 = 0. Prin încercări, s=−2s = -2 este rădăcină. Factorizăm: (s+2)(s2−2s−3)=0(s+2)(s^2 -2s -3)=0, deci s=−2s = -2 sau s=3s = 3 sau s=−1s = -1.
42 puncte
Pentru fiecare valoare a lui ss, calculăm p=6sp = \frac{6}{s} și rezolvăm sistemul x+y=s,xy=px+y=s, xy=p. Obținem soluțiile: pentru s=−2,p=−3s=-2, p=-3: ecuația t2+2t−3=0t^2 +2t -3=0 dă t=1t=1 sau t=−3t=-3, deci (x,y)=(1,−3)(x,y)=(1,-3) sau (−3,1)(-3,1); pentru s=3,p=2s=3, p=2: t2−3t+2=0t^2 -3t+2=0 dă t=1t=1 sau t=2t=2, deci (1,2)(1,2) sau (2,1)(2,1); pentru s=−1,p=−6s=-1, p=-6: t2+t−6=0t^2 +t-6=0 dă t=2t=2 sau t=−3t=-3, deci (2,−3)(2,-3) sau (−3,2)(-3,2). Verificăm în ecuațiile inițiale toate perechile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.