MediuMatematică financiarăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceLogaritmi
Se acordă un credit de SS lei cu o rată anuală a dobânzii de i%i\%, capitalizată lunar. Creditul se rambursează prin plăți lunare constante de RR lei. Folosind noțiuni de progresii geometrice, deduceți formula pentru numărul de luni nn necesare pentru rambursare și exprimați nn în funcție de SS, ii, și RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm cu r=i1200r = \frac{i}{1200} rata lunară a dobânzii. Soldul după fiecare plată se calculează recursiv: B0=SB_0 = S, Bk=Bk−1(1+r)−RB_k = B_{k-1}(1+r) - R pentru k=1,2,…,nk=1,2,\dots,n. Prin inducție, se obține Bn=S(1+r)n−R(1+r)n−1rB_n = S(1+r)^n - R \frac{(1+r)^n - 1}{r}.
24 puncte
La sfârșitul rambursării, Bn=0B_n = 0. Rezultă ecuația: 0=S(1+r)n−R(1+r)n−1r0 = S(1+r)^n - R \frac{(1+r)^n - 1}{r}. Rearanjăm: Sr(1+r)n=R[(1+r)n−1]S r (1+r)^n = R[(1+r)^n - 1], deci (1+r)n=RR−Sr(1+r)^n = \frac{R}{R - S r}.
33 puncte
Aplicarea logaritmilor: nln⁡(1+r)=ln⁡(RR−Sr)n \ln(1+r) = \ln\left(\frac{R}{R - S r}\right), de unde n=ln⁡(RR−Sr)ln⁡(1+r)n = \frac{\ln\left(\frac{R}{R - S r}\right)}{\ln(1+r)} (echivalent cu n=−ln⁡(1−SrR)ln⁡(1+r)n = -\frac{\ln\left(1 - \frac{S r}{R}\right)}{\ln(1+r)}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.