MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăIdentități algebriceȘiruri de numere reale
Să se demonstreze prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk⋅2k=(n−1)⋅2n+1+2\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k} = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
11 punct
Se verifică pentru n=1n=1: ∑k=11k⋅2k=1⋅21=2\sum_{k=1}^{1} k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2^{1} = 2, iar (1−1)⋅21+1+2=0⋅4+2=2(1-1) \cdot 2^{1+1} + 2 = 0 \cdot 4 + 2 = 2, deci egalitatea este adevărată.
21 punct
Se presupune că pentru un n≥1n \geq 1 egalitatea este adevărată, adică ∑k=1nk⋅2k=(n−1)⋅2n+1+2\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k} = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2.
38 puncte
Se demonstrează pentru n+1n+1: ∑k=1n+1k⋅2k=∑k=1nk⋅2k+(n+1)⋅2n+1\sum_{k=1}^{n+1} k \cdot 2^{k} = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k} + (n+1) \cdot 2^{n+1}. Folosind presupunerea inductivă, aceasta devine [(n−1)⋅2n+1+2]+(n+1)⋅2n+1=(n−1+n+1)⋅2n+1+2=(2n)⋅2n+1+2=n⋅2n+2+2[(n-1) \cdot 2^{n+1} + 2] + (n+1) \cdot 2^{n+1} = (n-1 + n+1) \cdot 2^{n+1} + 2 = (2n) \cdot 2^{n+1} + 2 = n \cdot 2^{n+2} + 2. Pe de altă parte, conform formulei pentru n+1n+1, avem ((n+1)−1)⋅2(n+1)+1+2=n⋅2n+2+2((n+1)-1) \cdot 2^{(n+1)+1} + 2 = n \cdot 2^{n+2} + 2, care este egal cu expresia obținută. Astfel, egalitatea este adevărată pentru n+1n+1, ceea ce încheie demonstrația prin inducție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.