MediuLogică matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați, folosind inducția matematică, că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, egalitatea 13+23+⋯+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 este adevărată. Discutați rolul implicației logice P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) în structura demonstrației prin inducție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea cazului de bază pentru n=1n=1: calculăm 13=11^3 = 1 și (1⋅22)2=1\left( \frac{1 \cdot 2}{2} \right)^2 = 1, deci P(1)P(1) este adevărată.
24 puncte
Presupunem că P(n)P(n) este adevărată, adică 13+23+⋯+n3=(n(n+1)2)21^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2. Demonstrăm implicația P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1): adunăm (n+1)3(n+1)^3 ambelor părți și, folosind algebra, arătăm că 13+⋯+(n+1)3=((n+1)(n+2)2)21^3 + \dots + (n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2.
32 puncte
Explicăm că implicația logică P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) este crucială în inducție, asigurând că dacă propoziția este adevărată pentru un nn, atunci rămâne adevărată pentru n+1n+1, permițând extrapolarea de la cazul de bază la toate numerele naturale.
42 puncte
Concluzionăm prin principiul inducției matematice: deoarece P(1)P(1) este adevărată și P(n)⇒P(n+1)P(n) \Rightarrow P(n+1) pentru orice n≥1n \geq 1, rezultă că P(n)P(n) este adevărată pentru toate n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.