MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Rezolvați sistemul de ecuații pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi): {sin⁡x+sin⁡y=1cos⁡x+cos⁡y=3\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x + \cos y = \sqrt{3} \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm formulele pentru suma sinusurilor și cosinusurilor: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right).
23 puncte
Sistemul devine {2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=12cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=3\begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sqrt{3} \end{cases}. Împărțim ecuațiile pentru a obține tan⁡(x+y2)=13\tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}, deci x+y2=π6\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6} sau 7π6\frac{7\pi}{6}.
32 puncte
Substituim în una din ecuații pentru a găsi cos⁡(x−y2)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right), de exemplu din prima ecuație: cos⁡(x−y2)=12sin⁡(π6)=1\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} = 1 pentru x+y2=π6\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6}, iar pentru x+y2=7π6\frac{x+y}{2} = \frac{7\pi}{6}, cos⁡(x−y2)=−1\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -1.
42 puncte
Rezolvăm pentru xx și yy: dacă x+y2=π6\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{6} și x−y2=2kπ\frac{x-y}{2} = 2k\pi, obținem x=π6+2kπx = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, y=π6−2kπy = \frac{\pi}{6} - 2k\pi, dar cu x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi), găsim soluții precum x=π6x = \frac{\pi}{6}, y=π6y = \frac{\pi}{6}; pentru celălalt caz, soluții similare în interval.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.