MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Fie funcția f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1), definită pentru x>−1x > -1. Se consideră a>0a > 0 și punctul P(a,f(a))P(a, f(a)) pe graficul funcției. a) Determinați ecuația tangentei la graficul lui ff în punctul PP. b) Calculați distanța de la originea axelor de coordonate la această tangentă. c) Aflați valoarea lui aa pentru care această distanță este minimă.

Rezolvare completă

12 puncte · 6 pași
12 puncte
Se calculează derivata funcției: f′(x)=1x+1f'(x) = \frac{1}{x+1}. Panta tangentei în PP este m=f′(a)=1a+1m = f'(a) = \frac{1}{a+1}.
22 puncte
Ecuația tangentei: y−ln⁡(a+1)=1a+1(x−a)y - \ln(a+1) = \frac{1}{a+1}(x - a). Se aduce la forma generală: x−(a+1)y+aln⁡(a+1)−a=0x - (a+1)y + a\ln(a+1) - a = 0.
32 puncte
Distanța de la origine la dreapta de ecuație Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 este d=∣C∣A2+B2d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. Cu A=1A=1, B=−(a+1)B=-(a+1), C=aln⁡(a+1)−aC=a\ln(a+1)-a, avem d(a)=∣aln⁡(a+1)−a∣1+(a+1)2=a∣ln⁡(a+1)−1∣a2+2a+2d(a) = \frac{|a\ln(a+1)-a|}{\sqrt{1 + (a+1)^2}} = \frac{a |\ln(a+1)-1|}{\sqrt{a^2+2a+2}}.
42 puncte
Pentru a>0a>0, se consideră funcția d(a)=a(1−ln⁡(a+1))a2+2a+2d(a) = \frac{a(1 - \ln(a+1))}{\sqrt{a^2+2a+2}} pe intervalul (0,e−1)(0, e-1) unde ln⁡(a+1)<1\ln(a+1) < 1. Se derivează: d′(a)=(1−ln⁡(a+1))a2+2a+2−a⋅1a+1a2+2a+2−a(1−ln⁡(a+1))⋅a+1a2+2a+2a2+2a+2d'(a) = \frac{(1-\ln(a+1))\sqrt{a^2+2a+2} - a\cdot\frac{1}{a+1}\sqrt{a^2+2a+2} - a(1-\ln(a+1))\cdot\frac{a+1}{\sqrt{a^2+2a+2}}}{a^2+2a+2}.
52 puncte
Se rezolvă d′(a)=0d'(a)=0 sau se observă că d(a)≥0d(a) \geq 0 și d(a)=0d(a)=0 pentru a=e−1a = e-1, deoarece atunci ln⁡(a+1)=1\ln(a+1)=1. Se verifică că pentru a<e−1a < e-1, d′(a)<0d'(a) < 0 și pentru a>e−1a > e-1, d′(a)>0d'(a) > 0, deci a=e−1a = e-1 este punct de minim.
62 puncte
Concluzie: distanța minimă este 00, atinsă pentru a=e−1a = e-1, când tangenta trece prin origine.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.