MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O companie produce cutii cilindrice pentru conserve. Costul materialului pentru lateral este de 0.50.5 u.m./cm², iar pentru baze este de 11 u.m./cm². Dacă volumul cutiei trebuie să fie de 1000π1000\pi cm³, determinați raza și înălțimea care minimizează costul total.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notați cu rr raza și hh înălțimea cilindrului. Volumul este V=πr2h=1000πV = \pi r^2 h = 1000\pi, deci r2h=1000r^2 h = 1000.
22 puncte
Exprimați costul total CC: aria laterală este 2πrh2\pi r h, cost lateral 0.5⋅2πrh=πrh0.5 \cdot 2\pi r h = \pi r h; aria bazelor este 2πr22\pi r^2, cost baze 1⋅2πr2=2πr21 \cdot 2\pi r^2 = 2\pi r^2; deci C=πrh+2πr2C = \pi r h + 2\pi r^2.
32 puncte
Din r2h=1000r^2 h = 1000, exprimați h=1000/r2h = 1000/r^2 și substituiți în CC: C(r)=πr(1000/r2)+2πr2=1000π/r+2πr2C(r) = \pi r (1000/r^2) + 2\pi r^2 = 1000\pi/r + 2\pi r^2.
42 puncte
Calculați derivata C′(r)=−1000π/r2+4πrC'(r) = -1000\pi/r^2 + 4\pi r. Rezolvați C′(r)=0C'(r)=0: −1000π/r2+4πr=0⇒4πr=1000π/r2⇒4r3=1000⇒r3=250⇒r=523-1000\pi/r^2 + 4\pi r = 0 \Rightarrow 4\pi r = 1000\pi/r^2 \Rightarrow 4r^3 = 1000 \Rightarrow r^3 = 250 \Rightarrow r = 5\sqrt[3]{2}.
52 puncte
Verificați că r=523r = 5\sqrt[3]{2} minimizează costul (cu a doua derivată: C′′(r)=2000π/r3+4π>0C''(r) = 2000\pi/r^3 + 4\pi > 0). Calculați h=1000/r2=1000/(25⋅22/3)=40/22/3=2043h = 1000/r^2 = 1000/(25 \cdot 2^{2/3}) = 40/2^{2/3} = 20\sqrt[3]{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.