MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ 2 \} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx−2f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x - 2}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c știind că graficul funcției ff are asimptota oblică y=2x+1y = 2x + 1 și că punctul A(1,4)A(1, 4) aparține graficului. Pentru valorile găsite, determinați asimptota verticală și studiați semnul funcției ff pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem f(x)f(x) sub forma f(x)=ax+(2a+b)+c+2b+4ax−2f(x) = ax + (2a+b) + \frac{c+2b+4a}{x-2} prin împărțire polinomială. Din asimptota oblică y=2x+1y=2x+1, obținem a=2a=2 și 2a+b=12a+b=1, deci b=−3b=-3.
22 puncte
Folosim punctul A(1,4)A(1,4): f(1)=4f(1)=4. Calculăm f(1)=a+b+c1−2=−a−b−c=4f(1)= \frac{a+b+c}{1-2} = -a-b-c = 4. Cu a=2a=2 și b=−3b=-3, obținem −2+3−c=4⇒1−c=4⇒c=−3-2+3-c=4 \Rightarrow 1-c=4 \Rightarrow c=-3.
32 puncte
Asimptota verticală este x=2x=2, deoarece numitorul se anulează în x=2x=2 și numărătorul este nenul (2⋅22−3⋅2−3=8−6−3=−1≠02\cdot2^2 -3\cdot2 -3 =8-6-3=-1 \neq 0).
43 puncte
Studiul semnului funcției f(x)=2x2−3x−3x−2f(x)= \frac{2x^2 -3x -3}{x-2}. Rădăcinile numărătorului: 2x2−3x−3=0⇒x1,2=3±3342x^2-3x-3=0 \Rightarrow x_{1,2}= \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}. Tabel de semn pe intervalele (−∞,x1)(-\infty, x_1), (x1,2)(x_1, 2), (2,x2)(2, x_2), (x2,∞)(x_2, \infty), unde x1=3−334x_1 = \frac{3 - \sqrt{33}}{4} și x2=3+334x_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}. Semnul este pozitiv pe (−∞,x1)(-\infty, x_1) și (2,x2)(2, x_2), negativ pe (x1,2)(x_1, 2) și (x2,∞)(x_2, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.