MediuLogică matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăȘiruri de numere realeInducție matematică
Considerăm șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=n2−3n+2a_n = n^2 - 3n + 2. a) Demonstrați folosind inducția matematică că an≥0a_n \geq 0 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Stabiliți dacă există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât ana_n este număr prim. Justificați răspunsul folosind metode logice. c) Demonstrați sau infirmăți că șirul este strict crescător.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: a1=12−3⋅1+2=0≥0a_1 = 1^2 - 3\cdot1 + 2 = 0 \geq 0.
23 puncte
Presupunem că ak≥0a_k \geq 0 pentru un k∈N∗k \in \mathbb{N}^*. Atunci ak+1=(k+1)2−3(k+1)+2=k2+2k+1−3k−3+2=k2−k=k(k−1)a_{k+1} = (k+1)^2 - 3(k+1) + 2 = k^2 + 2k + 1 - 3k - 3 + 2 = k^2 - k = k(k-1). Pentru k≥1k \geq 1, k(k−1)≥0k(k-1) \geq 0, deci ak+1≥0a_{k+1} \geq 0. Prin inducție matematică, an≥0a_n \geq 0 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
33 puncte
an=n2−3n+2=(n−1)(n−2)a_n = n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2). Pentru ca ana_n să fie prim, unul dintre factori trebuie să fie 1 și celălalt un număr prim. Dacă n−1=1n-1=1, atunci n=2n=2 și a2=0a_2=0 nu este prim. Dacă n−2=1n-2=1, atunci n=3n=3 și a3=2a_3=2 care este prim. Pentru n>3n>3, ambii factori sunt mai mari decât 1, deci ana_n este compus. Astfel, există n=3n=3 pentru care ana_n este prim, deci propoziția este adevărată.
42 puncte
Calculăm an+1−an=[(n+1)2−3(n+1)+2]−[n2−3n+2]=(n2+2n+1−3n−3+2)−(n2−3n+2)=2n−2a_{n+1} - a_n = [(n+1)^2 - 3(n+1) + 2] - [n^2 - 3n + 2] = (n^2+2n+1-3n-3+2) - (n^2-3n+2) = 2n-2. Pentru n=1n=1, 2⋅1−2=02\cdot1-2=0, deci a2=a1=0a_2 = a_1 = 0. Prin urmare, șirul nu este strict crescător deoarece inegalitatea an+1>ana_{n+1} > a_n nu este satisfăcută pentru n=1n=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.