MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieGeometrie Analitică
În triunghiul ABC, se cunosc AB=6AB = 6 cm, AC=8AC = 8 cm și măsura unghiului ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Punctul D se află pe latura BC astfel încât BD=2DCBD = 2DC. a) Calculați lungimea segmentului AD folosind teorema cosinusului și proprietăți trigonometrice. b) Plasați triunghiul într-un sistem de coordonate cu A în origine și AB pe axa Ox pozitivă. Determinați coordonatele punctelor B, C și D, apoi verificați lungimea AD folosind formula distanței.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC pentru a găsi BC: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡(60∘)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ).
24 puncte
Folosim teorema lui Stewart sau exprimăm AD folosind raportul BD = 2DC și trigonometria în triunghiurile ABD și ADC, obținând AD2=2⋅AC2+AB2−BC23AD^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + AB^2 - BC^2}{3}.
33 puncte
Considerăm A(0,0), B(6,0), și determinăm coordonatele lui C: C(8cos⁡60∘,8sin⁡60∘)=(4,43)C(8\cos60^\circ, 8\sin60^\circ) = (4, 4\sqrt{3}). Apoi găsim coordonatele lui D folosind formula punctului care împarte segmentul BC în raportul 2:1, de exemplu D(2⋅xC+xB3,2⋅yC+yB3)D\left(\frac{2 \cdot x_C + x_B}{3}, \frac{2 \cdot y_C + y_B}{3}\right), și calculăm AD=(xD)2+(yD)2AD = \sqrt{(x_D)^2 + (y_D)^2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.