MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie a,b,ca, b, c numere reale astfel încât a+b+c=0a+b+c=0 și a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1. Demonstrați că a4+b4+c4=12a^4 + b^4 + c^4 = \frac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din a+b+c=0a+b+c=0, ridicăm la pătrat și aplicăm identitatea algebrică: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca). Înlocuim a+b+c=0a+b+c=0 și a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2=1, obținând 0=1+2(ab+bc+ca)0=1+2(ab+bc+ca), deci ab+bc+ca=−12ab+bc+ca=-\frac{1}{2}.
23 puncte
Ridicăm a2+b2+c2=1a^2+b^2+c^2=1 la pătrat folosind identitatea: (a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2). Astfel, 1=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)1 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).
33 puncte
Calculăm a2b2+b2c2+c2a2a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 folosind identitatea (ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 2abc(a+b+c). Deoarece a+b+c=0a+b+c=0, avem (ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2. Știm ab+bc+ca=−12ab+bc+ca=-\frac{1}{2}, deci a2b2+b2c2+c2a2=14a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \frac{1}{4}.
41 punct
Înlocuim în ecuația de la step 2: 1=a4+b4+c4+2⋅14=a4+b4+c4+121 = a^4+b^4+c^4 + 2 \cdot \frac{1}{4} = a^4+b^4+c^4 + \frac{1}{2}, de unde rezultă a4+b4+c4=12a^4+b^4+c^4 = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.