MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡(x)−x+1f(x) = x \ln(x) - x + 1. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții și determinați intervalele de monotonie și convexitate, precum și natura punctelor critice.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=ln⁡(x)+1−1=ln⁡(x)f'(x) = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x). Rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=1x=1.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x) pentru monotonie: f′(x)>0f'(x)>0 pentru x>1x>1 (crescătoare), f′(x)<0f'(x)<0 pentru 0<x<10<x<1 (descrescătoare). Punctul x=1x=1 este minim local.
33 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Studiați semnul lui f′′(x)f''(x) pentru convexitate: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru toți x>0x>0, deci funcția este convexă pe întreg domeniul (0,∞)(0, \infty). Nu există puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.