MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R∖{2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx−2f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x-2}. Știind că graficul funcției are o asimptotă oblică cu ecuația y=2x+1y = 2x + 1, o asimptotă verticală la x=2x=2, și că f(0)=4f(0) = 4, determinați a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Scriem funcția și identificăm condițiile pentru asimptotă oblică. Efectuăm împărțirea polinomială: f(x)=ax2+bx+cx−2=ax+(2a+b)+4a+2b+cx−2f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x-2} = ax + (2a+b) + \frac{4a+2b+c}{x-2}. Din condiția asimptotei oblice y=2x+1y=2x+1, obținem a=2a=2 și 2a+b=12a+b=1, deci b=−3b=-3.
22 puncte
Condiția pentru asimptota verticală la x=2x=2: numitorul se anulează, iar numărătorul la x=2x=2 trebuie să fie nenul. Calculăm 4a+2b+c4a+2b+c. Cu a=2a=2 și b=−3b=-3, avem 4⋅2+2⋅(−3)+c=8−6+c=c+24\cdot2 + 2\cdot(-3) + c = 8 - 6 + c = c+2, care trebuie să fie ≠0\neq 0, deci c≠−2c \neq -2.
32 puncte
Din condiția f(0)=4f(0)=4, avem f(0)=c−2=4f(0) = \frac{c}{-2} = 4, deci c=−8c = -8.
42 puncte
Verificăm că c=−8c=-8 satisface c+2=−6≠0c+2 = -6 \neq 0, deci asimptota verticală la x=2x=2 există.
51 punct
Concluzie: a=2a=2, b=−3b=-3, c=−8c=-8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.