MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {sin⁡x+sin⁡y=62cos⁡x+cos⁡y=22\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}, cu x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosim formulele pentru suma sinusurilor și cosinusurilor: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). Sistemul devine: {2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=622cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=22\begin{cases} 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \\ 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}.
23 puncte
Notăm A=x+y2A = \frac{x+y}{2} și B=x−y2B = \frac{x-y}{2}. Atunci: {sin⁡Acos⁡B=64cos⁡Acos⁡B=24\begin{cases} \sin A \cos B = \frac{\sqrt{6}}{4} \\ \cos A \cos B = \frac{\sqrt{2}}{4} \end{cases}. Împărțim ecuațiile (presupunând cos⁡B≠0\cos B \neq 0): sin⁡Acos⁡A=3  ⟹  tan⁡A=3\frac{\sin A}{\cos A} = \sqrt{3} \implies \tan A = \sqrt{3}. Deci A=π3+kπA = \frac{\pi}{3} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. În [0,2π)[0, 2\pi), A=π3A = \frac{\pi}{3} sau A=4π3A = \frac{4\pi}{3}.
32 puncte
Pentru A=π3A = \frac{\pi}{3}, sin⁡A=32\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci cos⁡B=6/43/2=22\cos B = \frac{\sqrt{6}/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}. Pentru A=4π3A = \frac{4\pi}{3}, sin⁡A=−32\sin A = -\frac{\sqrt{3}}{2}, deci cos⁡B=−22\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
42 puncte
Din cos⁡B=22\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}, B=π4+2mπB = \frac{\pi}{4} + 2m\pi sau B=−π4+2mπB = -\frac{\pi}{4} + 2m\pi; din cos⁡B=−22\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}, B=3π4+2mπB = \frac{3\pi}{4} + 2m\pi sau B=5π4+2mπB = \frac{5\pi}{4} + 2m\pi, m∈Zm \in \mathbb{Z}. Revenim: x=A+Bx = A + B, y=A−By = A - B. Soluțiile în [0,2π)[0, 2\pi) sunt: (x,y)=(7π12,π12),(π12,7π12),(19π12,17π12),(17π12,19π12)(x,y) = \left(\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right), \left(\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}\right), \left(\frac{19\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\right), \left(\frac{17\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.