MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x. Determinați asimptotele orizontale sau oblice ale funcției și arătați că funcția este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinarea asimptotelor: se calculează lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞(ln⁡(x2+1)−x)\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (\ln(x^2 + 1) - x). Pentru x→∞x \to \infty, ln⁡(x2+1)∼2ln⁡x\ln(x^2 + 1) \sim 2\ln x, dar comparând cu xx, limita este −∞-\infty; se verifică dacă există asimptotă oblică: m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞ln⁡(x2+1)−xx=−1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1) - x}{x} = -1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=lim⁡x→∞(ln⁡(x2+1)−x+x)=lim⁡x→∞ln⁡(x2+1)=∞n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - m x) = \lim_{x \to \infty} (\ln(x^2 + 1) - x + x) = \lim_{x \to \infty} \ln(x^2 + 1) = \infty, deci nu există asimptotă oblică. Pentru x→−∞x \to -\infty, lim⁡x→−∞f(x)=∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty, deci nu există asimptotă orizontală. Concluzie: funcția nu are asimptote orizontale sau oblice.
23 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=2xx2+1−1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - 1.
33 puncte
Studiul monotoniei: se analizează semnul lui f′(x)f'(x). f′(x)=2x−(x2+1)x2+1=−x2+2x−1x2+1=−(x−1)2x2+1≤0f'(x) = \frac{2x - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} = \frac{-(x-1)^2}{x^2 + 1} \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu egalitate doar pentru x=1x=1. Deci, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x≠1x \neq 1, ceea ce implică că funcția este strict descrescătoare pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.