MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitatePolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, unde a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că ff are un punct critic în x=1x=1, un punct de inflexiune în x=2x=2, și că f(0)=1f(0)=1, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și apoi studiați monotonie și convexitatea funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivatele: f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c și f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b.
23 puncte
Folosiți condițiile: f′(1)=0f'(1)=0, f′′(2)=0f''(2)=0, f(0)=1f(0)=1 pentru a obține sistemul: {3a+2b+c=012a+2b=0d=1\begin{cases} 3a + 2b + c = 0 \\ 12a + 2b = 0 \\ d = 1 \end{cases}.
32 puncte
Rezolvați sistemul. Din a doua ecuație, b=−6ab = -6a. Înlocuiți în prima: 3a+2(−6a)+c=0⇒−9a+c=0⇒c=9a3a + 2(-6a) + c = 0 \Rightarrow -9a + c = 0 \Rightarrow c = 9a. Din a treia, d=1d=1. Pentru concretizare, alegeți a=1a=1, deci b=−6b=-6, c=9c=9, d=1d=1.
42 puncte
Pentru a=1,b=−6,c=9,d=1a=1, b=-6, c=9, d=1, f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3). Studiați semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1,3)x \in (1,3). Deci ff crescătoare pe (−∞,1](-\infty,1] și [3,∞)[3,\infty), descrescătoare pe [1,3][1,3].
51 punct
f′′(x)=6x−12=6(x−2)f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2). Studiați semnul: f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<2x<2, f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>2x>2. Deci ff concavă pe (−∞,2)(-\infty,2) și convexă pe (2,∞)(2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.