MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieGeometrie AnaliticăTrigonometrie
În planul cartezian, se consideră punctele A(0,0) și B(4,0). Punctul C este astfel încât unghiul BAC este de 60° și unghiul ABC este de 45°. Determinați coordonatele punctului C.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie C(x,y). Unghiul BAC este unghiul dintre vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. AB⃗=(4,0)\vec{AB} = (4,0), AC⃗=(x,y)\vec{AC} = (x,y). Atunci cos⁡60∘=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣=4x4x2+y2=xx2+y2=12\cos 60^\circ = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{4x}{4\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{2}. Unghiul ABC este unghiul dintre BA⃗\vec{BA} și BC⃗\vec{BC}. BA⃗=(−4,0)\vec{BA} = (-4,0), BC⃗=(x−4,y)\vec{BC} = (x-4, y). Atunci cos⁡45∘=BA⃗⋅BC⃗∣BA⃗∣∣BC⃗∣=−4(x−4)4(x−4)2+y2=−(x−4)(x−4)2+y2=22\cos 45^\circ = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{-4(x-4)}{4\sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \frac{-(x-4)}{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
22 puncte
Din prima ecuație, xx2+y2=12⇒x2+y2=2x⇒x2+y2=4x2⇒y2=3x2⇒y=x3\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2} = 2x \Rightarrow x^2 + y^2 = 4x^2 \Rightarrow y^2 = 3x^2 \Rightarrow y = x\sqrt{3} (se ia y>0y > 0 pentru punct deasupra axei Ox).
33 puncte
Din a doua ecuație, −(x−4)(x−4)2+y2=22⇒(x−4)2+y2=−2(x−4)\frac{-(x-4)}{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sqrt{(x-4)^2 + y^2} = -\sqrt{2}(x-4). Pătratăm: (x−4)2+y2=2(x−4)2(x-4)^2 + y^2 = 2(x-4)^2. Înlocuim y2=3x2y^2 = 3x^2: (x−4)2+3x2=2(x−4)2⇒3x2=(x−4)2⇒3x=∣x−4∣(x-4)^2 + 3x^2 = 2(x-4)^2 \Rightarrow 3x^2 = (x-4)^2 \Rightarrow \sqrt{3}x = |x-4|. Deoarece din ecuația inițială x−4<0x-4 < 0 (pentru cosinus pozitiv), 3x=−(x−4)⇒x(3+1)=4⇒x=43+1=2(3−1)\sqrt{3}x = -(x-4) \Rightarrow x(\sqrt{3} + 1) = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{\sqrt{3} + 1} = 2(\sqrt{3} - 1).
42 puncte
Atunci y=x3=2(3−1)3=2(3−3)=6−23y = x\sqrt{3} = 2(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3} = 2(3 - \sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3}. Deci C(2(3−1),6−23)\left(2(\sqrt{3} - 1), 6 - 2\sqrt{3}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.