MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiStudiul funcțiilor
Determinați asimptotele funcției f(x)=ln⁡(x+1)x−2f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x-2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Determinăm domeniul de definiție: x+1>0x+1 > 0 și x≠2x \neq 2, deci x∈(−1,2)∪(2,∞)x \in (-1, 2) \cup (2, \infty).
23 puncte
Asimptote verticale: se verifică limitele în punctele unde numitorul este zero sau unde funcția tinde spre infinit. În x=2x=2: lim⁡x→2f(x)=lim⁡x→2ln⁡(x+1)x−2\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\ln(x+1)}{x-2}. Pentru x→2+x \to 2^+, numitorul pozitiv, numerator ln⁡3>0\ln3 >0, deci limita +∞+\infty. Pentru x→2−x \to 2^-, numitorul negativ, deci limita −∞-\infty. Astfel, x=2x=2 este asimptotă verticală. În x=−1x=-1: lim⁡x→−1+f(x)=lim⁡x→−1+ln⁡(x+1)x−2\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{\ln(x+1)}{x-2}. Cum ln⁡(x+1)→−∞\ln(x+1) \to -\infty și x−2→−3x-2 \to -3, limita este +∞+\infty, deci x=−1x=-1 este asimptotă verticală.
32 puncte
Asimptotă orizontală: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞ln⁡(x+1)x−2=0\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x+1)}{x-2} = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală spre +∞+\infty. Similar, pentru x→−∞x \to -\infty, funcția nu este definită, deci nu există asimptotă orizontală spre −∞-\infty.
42 puncte
Concluzie: Funcția are asimptote verticale x=−1x=-1 și x=2x=2, și asimptotă orizontală y=0y=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.