MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Fie vectorii a⃗=2i⃗−3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați kk astfel încât vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} să fie perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c} pentru valoarea găsită a lui kk.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm a⃗+b⃗=(2i⃗−3j⃗)+(−i⃗+4j⃗)=i⃗+j⃗\vec{a} + \vec{b} = (2\vec{i} - 3\vec{j}) + (-\vec{i} + 4\vec{j}) = \vec{i} + \vec{j}.
23 puncte
Vectorii sunt perpendiculari dacă produsul scalar este zero: (i⃗+j⃗)⋅(ki⃗+j⃗)=0⇒1⋅k+1⋅1=k+1=0⇒k=−1(\vec{i} + \vec{j}) \cdot (k\vec{i} + \vec{j}) = 0 \Rightarrow 1 \cdot k + 1 \cdot 1 = k + 1 = 0 \Rightarrow k = -1.
32 puncte
Pentru k=−1k = -1, c⃗=−i⃗+j⃗\vec{c} = -\vec{i} + \vec{j}.
43 puncte
Aria triunghiului se calculează cu determinantul: 12∣det⁡(b⃗−a⃗,c⃗−a⃗)∣\frac{1}{2} | \det(\vec{b} - \vec{a}, \vec{c} - \vec{a}) |. Calculăm b⃗−a⃗=(−3)i⃗+7j⃗\vec{b} - \vec{a} = (-3)\vec{i} + 7\vec{j} și c⃗−a⃗=(−3)i⃗+4j⃗\vec{c} - \vec{a} = (-3)\vec{i} + 4\vec{j}. Determinantul: (−3)(4)−(7)(−3)=−12+21=9(-3)(4) - (7)(-3) = -12 + 21 = 9. Aria: 12×9=4.5\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.