MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeIdentități algebrice
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, suma ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea pentru n=1: ∑k=11k2=12=1\sum_{k=1}^{1} k^2 = 1^2 = 1 și 1(1+1)(2⋅1+1)6=1⋅2⋅36=66=1\frac{1(1+1)(2 \cdot 1 +1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1, deci egalitatea este adevărată.
25 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=m, adică ∑k=1mk2=m(m+1)(2m+1)6\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}. Demonstrați pentru n=m+1: ∑k=1m+1k2=∑k=1mk2+(m+1)2=m(m+1)(2m+1)6+(m+1)2\sum_{k=1}^{m+1} k^2 = \sum_{k=1}^{m} k^2 + (m+1)^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + (m+1)^2. Simplificați expresia: m(m+1)(2m+1)+6(m+1)26=(m+1)[m(2m+1)+6(m+1)]6=(m+1)(2m2+m+6m+6)6=(m+1)(2m2+7m+6)6\frac{m(m+1)(2m+1) + 6(m+1)^2}{6} = \frac{(m+1)[m(2m+1) + 6(m+1)]}{6} = \frac{(m+1)(2m^2 + m + 6m + 6)}{6} = \frac{(m+1)(2m^2 + 7m + 6)}{6}. Factorizați: 2m2+7m+6=(2m+3)(m+2)2m^2 + 7m + 6 = (2m+3)(m+2), deci (m+1)(2m+3)(m+2)6=(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)6\frac{(m+1)(2m+3)(m+2)}{6} = \frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6}, care este formula pentru n=m+1.
32 puncte
Concluzie: Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru toți n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.