MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații neliniare: {x2+xy+y2=7log⁡2(x+y)+log⁡2(x−y)=1\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ \log_2(x+y) + \log_2(x-y) = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Determinarea domeniului de definiție: x+y>0x+y > 0 și x−y>0x-y > 0.
22 puncte
Aplicarea proprietăților logaritmilor: log⁡2(x+y)+log⁡2(x−y)=log⁡2((x+y)(x−y))=log⁡2(x2−y2)=1\log_2(x+y) + \log_2(x-y) = \log_2((x+y)(x-y)) = \log_2(x^2 - y^2) = 1, deci x2−y2=2x^2 - y^2 = 2.
32 puncte
Introducerea variabilelor a=x+ya = x+y și b=x−yb = x-y. Atunci ab=2ab = 2 și din prima ecuație, exprimând x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 în funcție de aa și bb, se obține 3a2+b2=283a^2 + b^2 = 28.
43 puncte
Rezolvarea sistemului ab=2ab = 2 și 3a2+b2=283a^2 + b^2 = 28. Din ab=2ab=2, b=2/ab = 2/a. Înlocuind: 3a2+(2/a)2=283a^2 + (2/a)^2 = 28 ⇒\Rightarrow 3a4−28a2+4=03a^4 - 28a^2 + 4 = 0. Notând t=a2t = a^2, ecuația devine 3t2−28t+4=03t^2 - 28t + 4 = 0. Rezolvă: t=14±2463t = \frac{14 \pm 2\sqrt{46}}{3}.
51 punct
Determinarea lui aa și bb: a=ta = \sqrt{t} (deoarece a>0a > 0), b=2/ab = 2/a. Apoi x=a+b2x = \frac{a+b}{2} și y=a−b2y = \frac{a-b}{2}.
61 punct
Verificarea soluțiilor în domeniu și scrierea mulțimii soluțiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.