MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În planul cu vectorii unitate i⃗\vec{i} și j⃗\vec{j}, se consideră vectorii u⃗=2i⃗+kj⃗\vec{u} = 2\vec{i} + k\vec{j} și v⃗=(k−1)i⃗+3j⃗\vec{v} = (k-1)\vec{i} + 3\vec{j}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. Aflați valorile lui kk pentru care unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este de 45∘45^\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind definiția produsului scalar, scrieți condiția: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡45∘\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos 45^\circ, unde cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.
23 puncte
Calculați u⃗⋅v⃗=2(k−1)+3k=5k−2\vec{u} \cdot \vec{v} = 2(k-1) + 3k = 5k - 2, ∣u⃗∣=4+k2|\vec{u}| = \sqrt{4 + k^2}, și ∣v⃗∣=(k−1)2+9=k2−2k+10|\vec{v}| = \sqrt{(k-1)^2 + 9} = \sqrt{k^2 - 2k + 10}.
34 puncte
Înlocuiți în ecuație: 5k−2=224+k2k2−2k+105k - 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{4 + k^2} \sqrt{k^2 - 2k + 10}. Ridicați la pătrat ambele părți, obțineți ecuația 2(5k−2)2=(4+k2)(k2−2k+10)2(5k-2)^2 = (4+k^2)(k^2-2k+10). Simplificați la o ecuație polinomială, rezolvați pentru kk (de exemplu, k4−2k3+5k2−24k+20=0k^4 - 2k^3 + 5k^2 - 24k + 20 = 0 cu factorizare posibilă) și verificați soluțiile în ecuația originală, ținând cont că normele sunt pozitive și cos⁡45∘\cos 45^\circ este valid.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.