MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorTrigonometrieMatematică aplicată
O scară de lungime L=5 mL = 5\,m este rezemată de un perete vertical. Baza scării este trasă pe orizontală departe de perete cu viteza constantă v=0.2 m/sv = 0.2\,m/s. Determinați viteza cu care capătul superior al scării alunecă pe perete în momentul în care baza scării se află la distanța d=3 md = 3\,m de perete.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Fie x(t)x(t) distanța de la perete la baza scării și y(t)y(t) înălțimea la care se află capătul superior. Conform teoremei lui Pitagora, x2+y2=L2x^2 + y^2 = L^2.
23 puncte
Se derivează în raport cu timpul tt: 2xdxdt+2ydydt=02x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0, deci xdxdt+ydydt=0x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0. Se știe că dxdt=v=0.2 m/s\frac{dx}{dt} = v = 0.2\,m/s.
33 puncte
În momentul când x=d=3 mx = d = 3\,m, avem y=L2−d2=52−32=4 my = \sqrt{L^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,m. Atunci, 3⋅0.2+4⋅dydt=03 \cdot 0.2 + 4 \cdot \frac{dy}{dt} = 0, de unde dydt=−0.15 m/s\frac{dy}{dt} = -0.15\,m/s.
42 puncte
Viteza cu care capătul superior alunecă este ∣dydt∣=0.15 m/s\left| \frac{dy}{dt} \right| = 0.15\,m/s, iar semnul negativ indică că înălțimea scade.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.