MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul al II-leaEcuații logaritmice
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {x2+y2−2x+4y=11log⁡3(x−1)+log⁡3(y+2)=2\begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 4y = 11 \\ \log_3(x-1) + \log_3(y+2) = 2 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x−1>0x-1 > 0 și y+2>0y+2 > 0, deci x>1x > 1 și y>−2y > -2.
23 puncte
Completarea pătratelor pentru prima ecuație: x2−2x+y2+4y=11⇒(x−1)2−1+(y+2)2−4=11⇒(x−1)2+(y+2)2=16x^2 - 2x + y^2 + 4y = 11 \Rightarrow (x-1)^2 -1 + (y+2)^2 -4 = 11 \Rightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 = 16.
33 puncte
Aplicarea proprietăților logaritmilor: log⁡3((x−1)(y+2))=2⇒(x−1)(y+2)=9\log_3((x-1)(y+2)) = 2 \Rightarrow (x-1)(y+2) = 9.
42 puncte
Notând a=x−1a = x-1 și b=y+2b = y+2, cu a>0a>0 și b>0b>0, sistemul devine {a2+b2=16ab=9\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ ab = 9 \end{cases}. Rezolvând, se obține a=3,b=3a=3, b=3 sau a=−3,b=−3a=-3, b=-3. Doar a=3,b=3a=3, b=3 respectă domeniul, deci x=4,y=1x=4, y=1. Verificarea în sistem confirmă soluția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.