MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAsimptote
Pentru funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x}, studiați monotonia și convexitatea pe domeniul de definiție. Apoi, determinați asimptotele funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=±1x = \pm 1; f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<−1x < -1 sau x>1x > 1, deci funcția este crescătoare pe (−∞,−1]∪[1,∞)(-\infty, -1] \cup [1, \infty); f′(x)<0f'(x) < 0 pentru −1<x<0-1 < x < 0 sau 0<x<10 < x < 1, deci funcția este descrescătoare pe [−1,0)∪(0,1][-1, 0) \cup (0, 1]. Punctele de extrem sunt la x=±1x = \pm 1.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2x3f''(x) = \frac{2}{x^3}.
42 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty); pentru x<0x < 0, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci funcția este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0). Nu există puncte de inflexiune în domeniu.
51 punct
Asimptote: asimptota verticală la x=0x = 0, deoarece lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty și lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty; asimptota oblică y=xy = x, deoarece lim⁡x→±∞f(x)x=1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și lim⁡x→±∞(f(x)−x)=0\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.