MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebricePolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3−3x+1P(x) = x^3 - 3x + 1 cu rădăcinile x1,x2,x3∈Cx_1, x_2, x_3 \in \mathbb{C}. Folosind identități algebrice, calculați suma x13+x23+x33x_1^3 + x_2^3 + x_3^3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem relațiile lui Viète pentru polinomul P(x)P(x): x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, x1x2+x2x3+x3x1=−3x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -3, x1x2x3=−1x_1 x_2 x_3 = -1.
23 puncte
Aplicăm identitatea algebrică a3+b3+c3=(a+b+c)3−3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abca^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c)(ab+bc+ca) + 3abc pentru a=x1a=x_1, b=x2b=x_2, c=x3c=x_3.
33 puncte
Înlocuim relațiile lui Viète în identitate: x13+x23+x33=03−3⋅0⋅(−3)+3⋅(−1)=−3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 0^3 - 3 \cdot 0 \cdot (-3) + 3 \cdot (-1) = -3.
42 puncte
Obținem rezultatul final: x13+x23+x33=−3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = -3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.