MediuIdentități algebriceClasa 11

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceInducție matematicăȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural nn, are loc identitatea ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Apoi, deduceți o formulă pentru ∑k=1n(2k−1)2\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm cazul de bază pentru n=1n=1: ∑k=11k2=12=1\sum_{k=1}^{1} k^2 = 1^2 = 1 și 1(1+1)(2⋅1+1)6=1⋅2⋅36=1\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} = \frac{1\cdot2\cdot3}{6} = 1, deci identitatea este adevărată.
24 puncte
Presupunem adevărat pentru nn, adică ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Pentru n+1n+1, avem ∑k=1n+1k2=∑k=1nk2+(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2. Folosind identități algebrice, simplificăm: n(n+1)(2n+1)+6(n+1)26=(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]6=(n+1)(2n2+7n+6)6=(n+1)(n+2)(2n+3)6\frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}, care este forma pentru n+1n+1.
33 puncte
Calculăm ∑k=1n(2k−1)2=∑k=12nk2−∑k=1n(2k)2=2n(2n+1)(4n+1)6−4∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{2n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - 4\sum_{k=1}^{n} k^2. Înlocuind identitatea demonstrată, obținem 2n(2n+1)(4n+1)6−4⋅n(n+1)(2n+1)6=n(2n+1)[2(4n+1)−4(n+1)]6=n(2n+1)(4n+2−4n−4)6=n(2n+1)(−2)6=n(2n−1)(2n+1)3\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(2n+1)[2(4n+1) - 4(n+1)]}{6} = \frac{n(2n+1)(4n+2 - 4n - 4)}{6} = \frac{n(2n+1)(-2)}{6} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.