MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieGeometrie Analitică
Un turn cu înălțimea hh este observat din două puncte A și B situate în același plan orizontal. Din punctul A, unghiul de elevație la vârful turnului este α\alpha, iar din B este β\beta. Distanța dintre A și B este dd. a) Exprimați înălțimea turnului hh în funcție de dd, α\alpha și β\beta, folosind funcții trigonometrice. b) Dacă α=30∘\alpha = 30^\circ, β=45∘\beta = 45^\circ și d=50d = 50 m, calculați hh. c) Presupunând că turnul este situat la originea sistemului de coordonate și că punctele A și B se află pe axa Ox, determinați coordonatele lui A și B astfel încât unghiurile de elevație să fie cele date.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm distanțele de la turn la A și B ca xAx_A și xBx_B. Din unghiurile de elevație, avem tan⁡α=hxA\tan \alpha = \frac{h}{x_A} și tan⁡β=hxB\tan \beta = \frac{h}{x_B}, iar d=∣xB−xA∣d = |x_B - x_A|. Rezolvăm sistemul pentru a exprima hh: h=d⋅tan⁡α⋅tan⁡β∣tan⁡β−tan⁡α∣h = \frac{d \cdot \tan \alpha \cdot \tan \beta}{|\tan \beta - \tan \alpha|}.
23 puncte
Substituim valorile: tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, d=50d = 50 m, și calculăm h=50⋅33⋅11−33h = \frac{50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}.
33 puncte
Alegem coordonatele: turnul la (0,0)(0,0), A la (xA,0)(x_A,0) cu xA=htan⁡αx_A = \frac{h}{\tan \alpha}, B la (xB,0)(x_B,0) cu xB=htan⁡βx_B = \frac{h}{\tan \beta}, și verificăm că distanța AB este dd.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.