MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x−y+z=1x+3y−2z=4−x+2y+z=0\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + 3y - 2z = 4 \\ -x + 2y + z = 0 \end{cases}. Exprimați sistemul sub formă vectorială ca o combinație liniară a vectorilor coloană și rezolvați-l folosind metoda eliminării Gauss sau determinantul. Verificați dacă vectorii formați din coeficienți sunt liniar independenți.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Sistemul se poate scrie sub formă vectorială: x(21−1)+y(−132)+z(1−21)=(140)x\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}.
24 puncte
Rezolvarea sistemului. Folosind eliminarea Gaussiană: din prima ecuație, z=1−2x+yz = 1 - 2x + y. Înlocuim în a doua: x+3y−2(1−2x+y)=4⇒5x+y=6x + 3y - 2(1 - 2x + y) = 4 \Rightarrow 5x + y = 6. În a treia: −x+2y+(1−2x+y)=0⇒−3x+3y=−1⇒3x−3y=1-x + 2y + (1 - 2x + y) = 0 \Rightarrow -3x + 3y = -1 \Rightarrow 3x - 3y = 1. Rezolvăm {5x+y=63x−3y=1\begin{cases} 5x + y = 6 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases}: din prima, y=6−5xy = 6 - 5x; în a doua, 3x−3(6−5x)=1⇒18x=19⇒x=19183x - 3(6 - 5x) = 1 \Rightarrow 18x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{18}, apoi y=1318y = \frac{13}{18}, și z=1−2⋅1918+1318=−718z = 1 - 2 \cdot \frac{19}{18} + \frac{13}{18} = -\frac{7}{18}.
33 puncte
Verificarea independenței liniare. Calculați determinantul matricei ∣2−1113−2−121∣=2(3⋅1−(−2)⋅2)−(−1)(1⋅1−(−2)⋅(−1))+1(1⋅2−3⋅(−1))=2(3+4)+1(1−2)+1(2+3)=14−1+5=18≠0\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 1 - (-2) \cdot 2) - (-1)(1 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1)) + 1(1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) = 2(3+4) +1(1-2) +1(2+3) = 14 -1 +5 = 18 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.