MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeInducție matematică
Fie z1,z2,…,znz_1, z_2, \dots, z_n numere complexe cu ∣zk∣=1|z_k| = 1 pentru fiecare k=1,2,…,nk = 1, 2, \dots, n. Demonstrați prin inducție matematică că ∣z1+z2+⋯+zn∣2+∣1+z1z2…zn∣2=(n+1)2|z_1 + z_2 + \dots + z_n|^2 + |1 + z_1 z_2 \dots z_n|^2 = (n+1)^2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, folosind identități algebrice pentru modulele numerelor complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea cazului de bază pentru n=1n=1: ∣z1∣2+∣1+z1∣2=1+(1+z1+zˉ1+∣z1∣2)=1+2+1=4=(1+1)2|z_1|^2 + |1+z_1|^2 = 1 + (1 + z_1 + \bar{z}_1 + |z_1|^2) = 1 + 2 + 1 = 4 = (1+1)^2, deoarece z1zˉ1=1z_1 \bar{z}_1 = 1.
24 puncte
Presupunerea inductivă: pentru un n≥1n \ge 1, ∣z1+⋯+zn∣2+∣1+z1…zn∣2=(n+1)2|z_1 + \dots + z_n|^2 + |1 + z_1 \dots z_n|^2 = (n+1)^2.
34 puncte
Demonstrarea pasului inductiv pentru n+1n+1: folosind identitatea ∣a+b∣2=∣a∣2+∣b∣2+2Re(abˉ)|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2\text{Re}(a\bar{b}) și proprietățile modulelor, se calculează ∣z1+⋯+zn+1∣2|z_1 + \dots + z_{n+1}|^2 și ∣1+z1…zn+1∣2|1 + z_1 \dots z_{n+1}|^2, apoi se adună și se aplică ipoteza inductivă pentru a obține (n+2)2(n+2)^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.