MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare cu parametrul real mm: {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}. a) Calculați determinantul D(m)D(m) al matricei sistemului. b) Determinați valorile lui mm pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm determinantul D(m)=∣m111m111m∣=m⋅∣m11m∣−1⋅∣111m∣+1⋅∣1m11∣=m(m2−1)−(m−1)+(1−m)=m3−m−m+1+1−m=m3−3m+2=(m−1)2(m+2)D(m) = \begin{vmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix} = m \cdot \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = m(m^2 - 1) - (m - 1) + (1 - m) = m^3 - m - m + 1 + 1 - m = m^3 - 3m + 2 = (m-1)^2(m+2).
23 puncte
Sistemul este compatibil determinat dacă D(m)≠0D(m) \neq 0, adică pentru m∈R∖{1,−2}m \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}.
33 puncte
Pentru m=2m=2, sistemul devine {2x+y+z=1x+2y+z=2x+y+2z=4\begin{cases} 2x+y+z=1 \\ x+2y+z=2 \\ x+y+2z=4 \end{cases}. Scădem prima ecuație din a doua: (x+2y+z)−(2x+y+z)=2−1⇒−x+y=1(x+2y+z) - (2x+y+z) = 2-1 \Rightarrow -x + y = 1. Scădem prima ecuație din a treia: (x+y+2z)−(2x+y+z)=4−1⇒−x+z=3(x+y+2z) - (2x+y+z) = 4-1 \Rightarrow -x + z = 3. Din acestea, avem y=1+xy = 1+x și z=3+xz = 3+x. Înlocuim în prima ecuație: 2x+(1+x)+(3+x)=1⇒4x+4=1⇒4x=−3⇒x=−342x + (1+x) + (3+x) = 1 \Rightarrow 4x + 4 = 1 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}. Atunci y=1−34=14y = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} și z=3−34=94z = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.