MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateStudiul funcțiilorDerivate
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex−x2+1f(x) = e^x - x^2 + 1. a) Studiați monotonia funcției ff. b) Studiați convexitatea funcției ff. c) Să se determine punctul de inflexiune al funcției ff, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ex−2xf'(x) = e^x - 2x. Se arată că f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deoarece funcția auxiliară g(x)=ex−2xg(x) = e^x - 2x are derivata g′(x)=ex−2g'(x) = e^x - 2 și minimul în x=ln⁡2x = \ln 2, cu g(ln⁡2)=2−2ln⁡2>0g(\ln 2) = 2 - 2\ln 2 > 0. Astfel, ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=ex−2f''(x) = e^x - 2. Semnul derivatei a doua: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>ln⁡2x > \ln 2, f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<ln⁡2x < \ln 2, deci ff este convexă pe (ln⁡2,∞)(\ln 2, \infty) și concavă pe (−∞,ln⁡2)(-\infty, \ln 2).
33 puncte
Punctul de inflexiune se află unde f′′(x)=0f''(x) = 0, adică x=ln⁡2x = \ln 2. Coordonatele: (ln⁡2,f(ln⁡2))=(ln⁡2,eln⁡2−(ln⁡2)2+1)=(ln⁡2,2−(ln⁡2)2+1)=(ln⁡2,3−(ln⁡2)2)(\ln 2, f(\ln 2)) = (\ln 2, e^{\ln 2} - (\ln 2)^2 + 1) = (\ln 2, 2 - (\ln 2)^2 + 1) = (\ln 2, 3 - (\ln 2)^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.