MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{−1,2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{ -1, 2 \} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x+2x2−x−2f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - x - 2}. Determinați asimptotele funcției ff și studiați poziția graficului funcției față de aceste asimptote.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție și identificarea punctelor de discontinuitate. Domeniul este R∖{−1,2}\mathbb{R} \setminus \{ -1, 2 \} deoarece numitorul x2−x−2=(x+1)(x−2)x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2) se anulează pentru x=−1x = -1 și x=2x = 2.
22 puncte
Determinarea asimptotelor verticale. Se calculează limitele: lim⁡x→−1f(x)=lim⁡x→−1(x−1)2(x+2)(x−2)(x+1)=∞\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{(x-1)^2 (x+2)}{(x-2)(x+1)} = \infty (numărătorul este finit și nenul, numitorul tinde la 0), deci x=−1x = -1 este asimptotă verticală. Similar, lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty, deci x=2x = 2 este asimptotă verticală.
33 puncte
Determinarea asimptotei oblice. Se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞x3−3x+2x(x2−x−2)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x + 2}{x(x^2 - x - 2)} = 1. Apoi n=lim⁡x→∞[f(x)−mx]=lim⁡x→∞(x3−3x+2x2−x−2−x)=lim⁡x→∞x2−x+2x2−x−2=1n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1. Deci asimptota oblică este y=x+1y = x + 1.
43 puncte
Studiul poziției graficului față de asimptote. Pentru asimptota verticală x=−1x = -1, se analizează semnul lui f(x)f(x) în vecinătatea lui x=−1x = -1 (de exemplu, pentru x<−1x < -1 și x>−1x > -1). Pentru asimptota oblică, se calculează f(x)−(x+1)f(x) - (x+1) și se determină semnul acestei diferențe pentru xx mare (de exemplu, se arată că f(x)−(x+1)>0f(x) - (x+1) > 0 pentru xx suficient de mare).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.