MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={ax2+bx+1,daca˘ x<1ln⁡(x+c),daca˘ x≥1f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1, & \text{dacă } x < 1 \\ \ln(x + c), & \text{dacă } x \geq 1 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați parametrii a,b,ca, b, c pentru care ff este continuă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condiția de continuitate la x=1x=1: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1). Calculăm: lim⁡x→1−f(x)=a(1)2+b(1)+1=a+b+1\lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1)^2 + b(1) + 1 = a + b + 1, iar lim⁡x→1+f(x)=ln⁡(1+c)\lim_{x \to 1^+} f(x) = \ln(1 + c) și f(1)=ln⁡(1+c)f(1) = \ln(1 + c). Obținem ecuația a+b+1=ln⁡(1+c)a + b + 1 = \ln(1 + c).
23 puncte
Verificăm continuitatea pe (−∞,1)(-\infty,1) și (1,∞)(1,\infty). Funcția este polinomială pe (−∞,1)(-\infty,1), deci continuă pentru orice a,ba,b. Pe (1,∞)(1,\infty), funcția logaritmică ln⁡(x+c)\ln(x+c) este continuă dacă x+c>0x+c > 0 pentru x≥1x \geq 1, adică 1+c>0⇒c>−11 + c > 0 \Rightarrow c > -1.
33 puncte
Combinăm condițiile: a+b+1=ln⁡(1+c)a + b + 1 = \ln(1 + c) cu c>−1c > -1. Parametrii aa și bb pot fi aleși liber, iar cc trebuie să satisfacă c>−1c > -1 și relația cu aa și bb. De exemplu, pentru c=0c=0, avem a+b+1=ln⁡(1)=0⇒a+b=−1a + b + 1 = \ln(1) = 0 \Rightarrow a + b = -1. Soluția generală: c>−1c > -1, a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} cu a+b=ln⁡(1+c)−1a + b = \ln(1+c) - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.