MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorEcuații logaritmiceEcuații iraționale
Fie mulțimile A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \} și B={x∈R∣x+2=x−2}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{x+2} = x-2 \}. Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B, apoi calculați cardinalul mulțimii A△BA \triangle B (diferența simetrică).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația pentru mulțimea A. log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3⇒log⁡2((x−1)(x+3))=3⇒(x−1)(x+3)=23=8\log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \Rightarrow \log_2((x-1)(x+3)) = 3 \Rightarrow (x-1)(x+3) = 2^3 = 8. Obținem x2+2x−3=8⇒x2+2x−11=0x^2 + 2x - 3 = 8 \Rightarrow x^2 + 2x - 11 = 0. Soluțiile sunt x=−1±23x = -1 \pm 2\sqrt{3}. Verificăm condițiile: x−1>0x-1 > 0 și x+3>0x+3 > 0, deci x>1x > 1. Astfel, A={−1+23}A = \{ -1 + 2\sqrt{3} \} (deoarece −1−23<1-1 - 2\sqrt{3} < 1).
23 puncte
Rezolvăm ecuația pentru mulțimea B. x+2=x−2\sqrt{x+2} = x-2. Condiții: x+2≥0x+2 \ge 0 și x−2≥0x-2 \ge 0, deci x≥2x \ge 2. Ridicăm la pătrat: x+2=(x−2)2⇒x+2=x2−4x+4⇒x2−5x+2=0x+2 = (x-2)^2 \Rightarrow x+2 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow x^2 - 5x + 2 = 0. Soluțiile sunt x=5±25−82=5±172x = \frac{5 \pm \sqrt{25-8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}. Verificăm x≥2x \ge 2 și ecuația originală: 5−172≈0.4385<2\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.4385 < 2, deci eliminăm; 5+172≈4.5615>2\frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx 4.5615 > 2, verifică. Deci B={5+172}B = \{ \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \}.
32 puncte
Calculăm A∩BA \cap B și A∪BA \cup B. A={−1+23}≈{2.464}A = \{ -1 + 2\sqrt{3} \} \approx \{ 2.464 \}, B={5+172}≈{4.5615}B = \{ \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \} \approx \{ 4.5615 \}. Deci A∩B=∅A \cap B = \emptyset, A∪B={−1+23,5+172}A \cup B = \{ -1 + 2\sqrt{3}, \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \}.
42 puncte
Cardinalul mulțimii A△BA \triangle B este numărul de elemente din (A∪B)∖(A∩B)=A∪B(A \cup B) \setminus (A \cap B) = A \cup B, deci este 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.