MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteSisteme de Ecuații LiniareStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx−1f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x-1}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Să se determine a,b,ca, b, c știind că graficul funcției are asimptota verticală x=1x=1, asimptota oblică y=2x+3y=2x+3 și că f(2)=5f(2)=5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Asimptota verticală x=1x=1 rezultă din faptul că numitorul se anulează în x=1x=1, deci nu impune condiții suplimentare asupra parametrilor.
23 puncte
Pentru asimptota oblică y=2x+3y=2x+3, se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞ax2+bx+cx(x−1)=am = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{x(x-1)} = a. Din m=2m=2, rezultă a=2a=2.
33 puncte
Calculăm n=lim⁡x→∞(f(x)−2x)=lim⁡x→∞(2x2+bx+cx−1−2x)=lim⁡x→∞2x2+bx+c−2x(x−1)x−1=lim⁡x→∞(b+2)x+cx−1=b+2n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^2 + bx + c}{x-1} - 2x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + bx + c - 2x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(b+2)x + c}{x-1} = b+2. Din n=3n=3, obținem b+2=3b+2=3, deci b=1b=1.
42 puncte
Folosind condiția f(2)=5f(2)=5, avem f(2)=a(4)+b(2)+c2−1=4a+2b+c=5f(2) = \frac{a(4) + b(2) + c}{2-1} = 4a + 2b + c = 5. Cu a=2a=2 și b=1b=1, se obține 4(2)+2(1)+c=10+c=54(2) + 2(1) + c = 10 + c = 5, deci c=−5c = -5. Astfel, a=2a=2, b=1b=1, c=−5c=-5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.