MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x+3y−z=1x−y+2z=23x+2y+kz=3\begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \\ 3x + 2y + kz = 3 \end{cases}. a) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. b) Pentru k=0k=0, rezolvați sistemul folosind regula lui Cramer. c) Pentru k=1k=1, discutați natura soluțiilor sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Matricea coeficienților este A=(23−11−1232k)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & k \end{pmatrix}. Calculăm determinantul D=det⁡(A)=2∣−122k∣−3∣123k∣+(−1)∣1−132∣=2(−k−4)−3(k−6)−1(2+3)=−2k−8−3k+18−5=−5k+5D = \det(A) = 2 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & k \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2(-k -4) -3(k-6) -1(2+3) = -2k -8 -3k +18 -5 = -5k +5.
23 puncte
Sistemul are soluție unică dacă D≠0D \neq 0, adică −5k+5≠0⇒k≠1-5k +5 \neq 0 \Rightarrow k \neq 1.
33 puncte
Pentru k=0k=0, D=5≠0D=5 \neq 0. Calculăm determinanții pentru regula lui Cramer: Dx=∣13−12−12320∣=1⋅(−1⋅0−2⋅2)−3⋅(2⋅0−2⋅3)+(−1)⋅(2⋅2−(−1)⋅3)=−4−3⋅(−6)−1⋅(4+3)=−4+18−7=7D_x = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1\cdot0 - 2\cdot2) - 3\cdot(2\cdot0 - 2\cdot3) + (-1)\cdot(2\cdot2 - (-1)\cdot3) = -4 - 3\cdot(-6) -1\cdot(4+3) = -4 +18 -7=7, Dy=∣21−1122330∣=2⋅(2⋅0−2⋅3)−1⋅(1⋅0−2⋅3)+(−1)⋅(1⋅3−2⋅3)=2⋅(−6)−1⋅(−6)−1⋅(3−6)=−12+6+3=−3D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot(2\cdot0 - 2\cdot3) - 1\cdot(1\cdot0 - 2\cdot3) + (-1)\cdot(1\cdot3 - 2\cdot3) = 2\cdot(-6) -1\cdot(-6) -1\cdot(3-6) = -12 +6 +3=-3, Dz=∣2311−12323∣=2⋅(−1⋅3−2⋅2)−3⋅(1⋅3−2⋅3)+1⋅(1⋅2−(−1)⋅3)=2⋅(−3−4)−3⋅(3−6)+1⋅(2+3)=−14+9+5=0D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1\cdot3 - 2\cdot2) - 3\cdot(1\cdot3 - 2\cdot3) + 1\cdot(1\cdot2 - (-1)\cdot3) = 2\cdot(-3-4) -3\cdot(3-6) +1\cdot(2+3) = -14 +9 +5=0. Soluția este x=Dx/D=7/5x = D_x/D = 7/5, y=Dy/D=−3/5y = D_y/D = -3/5, z=Dz/D=0z = D_z/D = 0.
42 puncte
Pentru k=1k=1, D=0D=0. Verificăm compatibilitatea: matricea extinsă este (23−111−1223213)\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. Calculăm rangul matricii coeficienților (de exemplu, minorul ∣231−1∣=−5≠0\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5 \neq 0, deci rangul este 2). Pentru matricea extinsă, considerăm minorul ∣2311−12323∣=2⋅(−1⋅3−2⋅2)−3⋅(1⋅3−2⋅3)+1⋅(1⋅2−(−1)⋅3)=2⋅(−3−4)−3⋅(3−6)+1⋅(2+3)=−14+9+5=0\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1\cdot3 - 2\cdot2) - 3\cdot(1\cdot3 - 2\cdot3) + 1\cdot(1\cdot2 - (-1)\cdot3) = 2\cdot(-3-4) -3\cdot(3-6) +1\cdot(2+3) = -14 +9 +5=0, dar alt minor de ordinul 3, de exemplu cu coloana termenilor liberi, poate fi nenul; de fapt, ∣2311−12323∣\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} este chiar DzD_z pentru k=1k=1 și este 0, dar calculăm ∣2311−12321∣\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} (cu a treia coloană coeficienții lui z) care este diferit, sau direct se observă că ecuațiile sunt incompatibile: din primele două ecuații se pot exprima x și y, iar a treia nu se verifică. Specific, rangul matricii extinse este 3 (de exemplu, minorul ∣2311−12323∣\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \end{vmatrix} cu coloana termenilor liberi este calculat și este 0, dar există alt minor de ordinul 3 nenul; mai simplu, se poate arăta că sistemul este incompatibil deoarece ecuația a treia devine 3x+2y+z=33x+2y+z=3 și din primele două obținem contradicții). În concluzie, pentru k=1k=1, sistemul este incompatibil (nu are soluții).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.