MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1n1k(k+1)(k+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică pentru n=1n=1: 11⋅2⋅3=16\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6} și 1(1+3)4(1+1)(1+2)=44⋅2⋅3=16\frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} = \frac{4}{4 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6}, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Se presupune că egalitatea este adevărată pentru un n≥1n \geq 1 arbitrar, adică ∑k=1n1k(k+1)(k+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.
35 puncte
Se demonstrează pentru n+1n+1: ∑k=1n+11k(k+1)(k+2)=∑k=1n1k(k+1)(k+2)+1(n+1)(n+2)(n+3)\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}. Folosind ipoteza inductivă, aceasta devine n(n+3)4(n+1)(n+2)+1(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+3)(n+3)+44(n+1)(n+2)(n+3)\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{n(n+3)(n+3) + 4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}. Simplificând, se obține (n+1)(n+4)4(n+2)(n+3)\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}, ceea ce corespunde formulei pentru n+1n+1. Astfel, prin inducție, egalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.